Топологічні напівгрупи та групи

Дослідження з топологічної алгебрі в Інституті започатковано у 1996 році з приходом в ІППММ О.В.Гутіка. Студії Гутіка з теорії топологічних напівгруп та топологічних напівграток розширються в площину напівтопологічних і правотопологічних напівгруп, топологічних і паратопологічних груп, після переходу в Інститут Є.Г.Зеленюка та О.В.Равського. За період з 1996 року в Інституті захищено одна докторська та дві кандидатські дисертації та опублікована одна монографія [32] з топологічної алгебри.

1. Топологічні напівгрупи та напівгратки. Дослідження у напрямку топологічних напівгруп стосуються описання структури певних класів топологічних напівгруп та напівграток, занурення топологічних напівгруп у топологічні напівгрупи з певними “хорошими” властивостями, побудови напівгрупових топологічних розширень, які зберігають певні тополого-алгебраїчні властивості.

Так зокрема, Гутіком та К.Павлик досліджувались напівгрупові топологізації напівгрупи Брака [3], λ- та λ⁰-розширень Брандта [10, 24] та розширень Брака-Рейлі. Вказано достатні умови на топологічну напівгрупу S такі, що напівгрупа Брака над S та топологічне розширення Брака-Рейлі напівгрупи S має лише єдину напівгрупову топологізацію, а саме так звану топологію прямої суми.

За допомогою конструкції напівгрупи Брака, Гутіком доведено аналог теореми Гартмана-Мицельського для простих топологічних напівгруп: кожна топологічна (інверсна) напівгрупа S топологічно ізоморфно зануоюється у лінійно зв'язний топологічний (інверсний) моноїд [2] та у зв'язний гаусдофовий топологічний (інверсний) моноїд [4] потужності S &Alef;⁰. Це дало можливість позитивно відповісти на питання І.Протасова про існування зліченних зв'язних гаусдорфових топологічних інверсних напівгруп.

О.Гутік побудував λ-розширення Брандта напігруп [6], за допомогою якого показав, що кожна топологічна напівгрупа топологічно ізоморфно занурюється в нільпотентно породжену топологічну напівгрупу, причому остання може бути зв'язною чи лінійно зв'язною [11]. Гутік та Лівач також показали, що кожну (топологічну) напівгрупу можна (топологічно) ізоморфно занурити в нільпотентно породжену (топологічну) напівгрупу довільного натурального індексу нільпотентності [9], при цьому зберігаються такі алгебраїчні властивості як регулярність, ортодоксаліність та інверсність та топологічні: H-замкненість, абсолютна H-замкненість, алгебраїчна замкненість і алгебраїчна h-замкненість.

О.Гутік і К.Павлик в [26,27] описали усі компактні, зліченно компактні, дискретно псевдо-компактні та псевдо-компактні топології τ на нескінченній напівгрупі матричних одиниць B_λ такі, що (B_λ,τ) є напівтопологічною напівгрупою, довели, що на нескінченній напівгрупі матричних одиниць B_λ не існує компактної (зліченно компактної, псевдо-компактної) напівгрупової топології, і більш того, доведено, що B_λ не занурюється у компактну топологічну напівгрупу. Ними також доведено, що довільний неперервний гомоморфізм нескінченної топологічної напівгрупи матричних одиниць B_λ у компактну топологічну напівгрупу є анулюючим і, що нескінченна напівгрупа матричних одиниць є алгебраїчно h-замкненою у класі топологічних інверсних напівгруп, а також побудовано напівгрупові абсолютно H-замкнені інверсні, мінімальні та мінімальні інверсні гаусдорфові топології на нескінченній напівгрупі матричних одиниць та описано компактифікації Бора таких напівгруп.

Гутік і Павлик ввели поняття топологічного λ-розширення Брандта та топологічного λ⁰-розширення Брандта топологічних напівгруп [10]. Вони показали, що топологічна інверсна напівгрупа S є (абсолютно) H-замкненою в класі топологічних інверсних напівгруп тоді і тільки тоді, коли для кожного кардинала λ довільне її топологічне λ та λ⁰-розширення Брандта в класі топологічних інверсних напівгруп є (абсолютно) H-замкненою напівгрупою і для довільного нескінченного кардинала λ побудували напівгрупові топології на λ та λ⁰-розширеннях Брандта топологічних напівгруп, що зберігають H-замкненість та абсолютну H-замкненість [10,24,17,27]. За допомогою топологічних λ-розширень Брандта описано структуру компактних 0-простих та компактних конгруенц-простих топологічних інверсних напівгруп: кожна компактна 0-проста топологічна інверсна напівгрупа ізоморфна скінченному розширенню Брандта компактної групи та довільна компактна конгруенц-проста топологічних інверсних напівгруп ізоморфна скінченній напівгрупі матричних одиниць. Зауважимо, що як показали Гутік і Реповш [35], аналогічні твердження мають місце й у випадку зліченно компактних напівгруп. За допомогою топологічних λ-та λ⁰-розширень Брандта, Гутік та Павлик також описали структуру компактних та зліченно компактних примітивних топологічних інверсних напівгруп і побудували приклад зліченної абсолютно H-замкненої 0-вимірної метризовної інверсної топологічної напівгрупи S з абсолютно H-замкненим ідеалом I такої, що фактор-напівгрупа Ріса S/I не є топологічною напівгрупою [28]

Гутік, Павлик і Рейтер в [36] показали, що топологична напіврупа скінченних часткових бієкцій Iⁿ_λ нескінченної множини з компактною піднапівгрупою ідемпотентів є абсолютно H-замкненою напівгрупою і кожна зліченно компактна топологічна напівгрупа не містить Iⁿ_λ як піднапівгрупу. Вони також вказали достатні умови на топологічну напівгрупу I¹_λ, щоб остання не була H‑замкненою. В роботі [36] також описана структура зліченно компактних λ⁰-розширень Брандта топологічних моноїдів з нулем та вивчається категорія зліченно компактних λ⁰-розширень Брандта топологічних моноїдів з нулем, що продовжує дослідження започатковані в праці [37].

О.Гутік в [1] довів, що кожна компактна топологічна напівгратка з вікритими зсувами зліченна а в [5,22,25] описав структуру компактних, локально компактних топологічних напівграток з відкритими головними ідеалами та з відкритими головними фільтрами, відповідно. Він також описав усі тополологічні інверсні напівгрупи у яких напівгрупи ідемпотентів є напівгратками з відкритими головними ідеалами чи фільтрами та довів, що кожна така компактна топологічна інверсна напівгрупа з першою аксіомою зліченності метризовна. Гутік в [7] показав, що в категорії топологічних напівграток розрізняються відкриті, індуктивно-відкриті, майже-відкриті, досконалі, бі-факторні, зліченно бі-факторні, псевдо-відкриті, замкнені та факторні гомоморфізми, а також довів, що досконалі, відкриті, бі-факторні, псевдо-відкриті, замкнені та факторні неперервні гомоморфізми топологічних інверсних напівгруп є E-наслідковими.

У [20] Т.Банах, О.Гутік і М. Раджагопалан довели, що кожен наслідково колективно гаусдорфовий компактний розріджений простір зі скінченною розрідженою висотою допускає неперервну напівграткову операцію, що перетворює його у тпологічну напівгратку з відкритими головними фільтрами. Побудовано приклади компактифікацій зліченного дискретного простору нарости яких гомеоморфні [0;ω₁) та одноточковій компактифікації Александрова незліченного дискретного простору, відповідно, що не допускають структури напівтопологічної інверсної напівгрупи та напівтопологічної напівгратки, відповідно. Також в [20] доведено, що кожен сепарабельний розріджений компакт розрідженої висоти 2 є підпростором сепарабельної компактної розрідженої топологічної напівгратки з відкритими головними фільтрами та розрідженою висотою 2.

У [18] Т.Банах, І.Гуран та О.Гутік ввели вільні топологічні об’єкти в категоріях топологічних інверсних напівгруп, топологічних інверсних кліффордових напівгруп, топологічних інверсних абелевих напівгруп та топологічних напівграток. Вони показали, що ці вільні об’єкти існують та є алгебраїчно вільними для кожного функціонально гаусдорфового простору X, а також, що є (локально) k_ω-просторами, якщо таким є простір X. У роботі вивчається питання збереження вкладень цими вільними конструкціями, а також розв’язана проблема Маркова. Доведено напівгруповий аналог теореми Архангельського, що кожна топологічна група є фактор-групою нуль-вимірної топологічної групи. Узагальнено теорему Лоусон‑Медісон про накриття топологічних k-напівгруп.

У [19] Т.Банах і О.Гутік вказали достатні умови щоб інверсія в зліченно компактній інверсній топологічній напівгрупі S була неперервною, а також побудували приклад квазі-регулярної секвенціально компактної комутативної інверсної напівгрупи з розривною інверсією.

У [23] Гутік та Лебідко описали відношення Гріна на напівгрупі компактних підмножин паратопологічної напівгрупи, а також доведено, що клас паратопологічних груп топологічно глобально визначений.

3.2. Напівгрупи ультрафільтрів та топології на групах. Основні результати у цьому напрямку досліджень стосуються топологічних груп та топологічних напівгруп, включаючи алгебраїчну структуру стоун-чехівських компактифікацій дискретних напівгруп, отримані Є.Зеленюком.

Є.Зеленюк довів, що кожна зліченна недискретна топологічна група зі скінченною напівгрупою ультрафільтрів і кожна зліченна недискретна ω-нерозкладна топологічна група містять відкриту булеву підгрупу [12,15]. Він також показав, що кожна зліченна група зі скінченним числом елементів порядку 2, яка занурюється в компактну групу, є абсолютно ω-розкладною, а кожна абелева група зі скінченним числом елементів порядку 2, є абсолютно розкладною [16, 33].

Зеленюком також було доведено, що екстремально незв’язну топологічну групу, яка містить зліченну дискретну незамкнену підмножину, без додаткових теоретито-множинних припущень побудувати неможливо [14]. Він також показав, що в при­пу­щен­ні аксіоми Мартіна, кожна недискретна метризовна групова топологія на аблевій групі посилюється до недискретної групової топології з лише замкненими ніде не щільними підмножинами і в припущення континуум гіпотези побудував на адитивній групі цілих чисел групову топологію, в якій довільні дві різні підгрупи не є гомеоморфними.

У спільній роботі з Н.Гайдменом та Д.Штраус [29] Є. Зеленюк описав структуру прямокутних в’язок в βN.

Отримані Зеленюком результати дають відповідь на ряд відомих відкритих проблем Комфорта-ван Мілла, з Куоровського зошита та з “Нерешённых проблем топологической алгебры” (Кишинёв, 1985).

3.3. Паратопологічні групи. При дослідженні загальних властивостей паратопологічних та напівтопологічних груп, зокрема, розглянуто поведінку цих груп по відносно стандартних операцій: множення, взяття підгруп, неперервних гомоморфізмів та ін. Досліджені спільні властивості паратопологічних та топологічних груп. І.Й.Гуран сформулював наступне питання: чи кожна берівська регулярна паратопологічна група є насиченою? О.В.Равським побудовано приклад нульвимірної гаусдорфової берівської паратопологiчної групи G з першою аксіомою зліченності, яка не є насиченою. Побудовано приклад, який дає негативну відповідь на питання Є.Рєзніченко: чи можна довільну гаусдорфову паратопологічну групу (G, τ) вкласти в добуток (G₁,τ₁)x(G₂, τ₂) паратопологічних груп, де топологія τ₁^q дискретна і (G₂,τ₂) топологічна група?

Досліджені деякі кардинальні інваріанти напівтопологічних та паратопологічних груп. Доведено деякі відомі нерівності між кардинальними інваріантами топологічних груп також і для випадку паратопологічних груп. І.Й.Гуран сформулював наступне питання. Нехай G паратопологічна група і c(G)?ω (відповідно ωl(G)??ω). Чи є група G ω-прекомпактною? О.В.Равським побудований приклад нульвимірної гаусдорфової паратопологічної групи G з першою аксіомою зліченності такої, що c(G)<=ω і ωl(G)<=ω, але група G не є ω-прекомпактною. Також доведено, що π ω(G)=π&Ksi;(G)pr₁(G) для кожної паратопологічної групи G.

Досліджено питання метризовності паратопологічних груп. Мартін та Ромагуера довели, що паратопологічна група G є квазі-метризовною ліво-інваріантною квазі-метрикою тоді і тільки тоді, коли G має зліченний характер. Доведено аналог цього твердження для квазі-метризовності двосторонньо-інваріантною квазі-метрикою. Також доведено, що кожна паратопологічна група, метризовна ліво-інваріантною метрикою є топологічною групою і наведено приклад метризовної паратопологічної групи, яка не є топологічною групою.

О.Равським отримані нові достатні умови, за яких паратопологічна група є топологічною групою. Побудовані приклади, які вказують на необхідність цих умов для певних класів топологічних просторів.

Равським доведено, що довільна ліво-прекомпактна паратопологічна група, яка є S_n^d-простором для деякого натурального n, є топологічною групою. Отже, довільна зліченно компактна ω-прекомпактна паратопологічна група є топологічною групою. Також побудовано приклади функціонально-гаусдорфової псевдо-компактної паратопологічної групи з першою аксіомою зліченності, яка не є топологічною групою. При припущенні аксіоми Мартіна, обмеженої на зліченні класи, побудовано приклад гаусдорфової зліченно-компактної паратопологічної групи, яка не є топологічною групою. Цей приклад дає відповідь на два запитання Гурана та на запитання, поставлене О.Алас та М.Санчіс, при вищевказаному аксіоматичному припущенні.

Банах і Равський в [21] досліджували H-замкнені паратопологічні групи. Для випадку абельової топологічної групи отримано критерій H-замкненості. Також знайдено достатні умови H-замкненості паратопологічної групи.

У роботі [31] вивчалися топологічні властивості вільних паратопологічних груп. Досліджено співвідношення між властивостями віддільності вільних паратопологічних груп та їх породжуючих просторів. Отримані результати про кардинальні інваріанти вільних паратопологічних груп.

 Література:

1. О.В.Гутик, О структуре связки компактной инверсной полугруппы с открытыми сдвигами, Математичні Студії, 6 (1996), 33‑38.
2. О.В.Гутік, Довільна топологічна напівгрупа топологічно ізоморфно вкладається в просту лінійно зв'язну топологічну напівгрупу, Алгебра і топологія: збірник тематичних праць. Львів, ЛДУ, 1996, 65‑73.
3. О.В.Гутік, Про ослаблення топології прямої суми на напівгрупі Брака, Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 47 (1997), 17‑21.
4. О.В.Гутік, Вкладення зліченних топологічних напівгруп у прості зліченні зв'язні топологічні напівгрупи, Мат. методи та фіз.-мех. поля, 41:3 (1998), 16-21.
5. О.В.Гутік, Про компактні напівгратки з відкритими головними фільтрами, Мат. методи та фіз.-мех., 42:3 (1998), 91-94.
6. О.В.Гутік, Про напівгрупу Гауі, Мат. методи та фіз.-мех. поля, 42:4 (1998), 127-132.
7. О.В.Гутік, Про гомоморфізми топологічних інверсних напівгруп, Мат. методи та фіз.-мех. поля, 43:2 (2000), 75-82.
8. О.В.Гутік, Є.Г.Зеленюк, Невласні гомоморфізми напівгруп ультрафільтрів, Мат. методи та фіз.-мех. поля, 43:1 (2000), 19-22.
9. О.В.Гутік, Ю.М.Лівач, Занурення топологічних напівгруп у нільпотентно-породжені напівгрупи, Мат. методи та фіз.-мех. поля, 48:4 (2005), 66-77.
10. О.В.Гутік, К.П. Павлик, H-замкнені топологічні напівгрупи та λ-розширення Брандта, Мат. методи та фіз.-мех. поля, 44:3 (2001), 20-28.
11. О.В.Гутік, К.П.Павлик, Занурення топологічних напівгруп, Мат. методи та фіз.-мех. поля, 45:1 (2002), 90-96.
12. Е.Г.Зеленюк, Разложимость топологических групп, Укр. мат. ж., 51:1 (1999), 41-43.
13. Е.Г.Зеленюк, Изоморфизмы полугрупп ультрафильтров, Мат. методи та фіз.-мех. поля, 42:4 (1999), 138-141.
14. Е.Г.Зеленюк, Эктремальные ультрафыльтры и топологии на группах, Матем. студії, 14:2 (2000), 121-140.
15. Є.Г.Зеленюк, Скінченні регулярні напівгрупи ультрафільтрів, Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат., 58 (2000), 83-87.
16. Е.Г.Зеленюк, О неразложимых топологических группах, Изв. Гомель. ун-та. Вопросы алгебры, 4:17 (2000), 69-72.
17. К.П.Павлик, Абсолютно H-замкнені топологічні напівгрупи та λ-розширення Брандта, Прикл. проблеми механіки і математики, 2 (2002), 61-68.
18. T.Banakh, I.Yo.Guran, O.V.Gutik, Free topological inverse semigroups, Матем. Студії, 15:1 (2000), 23-43.
19. T.O.Banakh, O.V.Gutik, On the continuity of inversion in countably compact inverse topological semigroups, Semigroup Forum, 68:3 (2004), 411-418.
20. T.O.Banakh, O.V.Gutik, M.Rajagopalan, Compatible algebraic structures on scattered compacta, Topology Appl., 153:5-6 (2005), 710-723.
21. T.Banakh, O.V.Ravsky, On subgroups of saturated or totally bounded paratopological groups, Algebra and Discrete Mathematics, 4 (2003), 1-20.
22. O.Gutik, Compact topological inverse semigroups, Semigroup Forum, 60:2 (2000), 243-252.
23. O.V.Gutik, O.Ye.Lebidko, On semigroup of compact subsets of a paratopological group, Прикл. проблеми механіки і математики, 1 (2003), 20‑24.
24. O.V.Gutik, K.P.Pavlyk, Topological Brandt λ-extensions of absolutely H-closed topological inverse semigroups, Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат., 61 (2003), 98-105.
25. O.V.Gutik, M.Rajagopalan, K.Sundaresan, Compact semilattices with open principal filters, J. Austral. Math. Soc., 72:3 (2002), 349-362.
26. O.V.Gutik, K.P.Pavlyk, Topological semigroups of matrix units, Algebra and Discrete Mathematics, 3 (2005), 1-17.
27. O.V.Gutik, K.P.Pavlyk, On topological semigroups of matrix units, Semigroup Forum, 71:1 (2005), 389-400.
28. O.V.Gutik, K.P.Pavlyk, On Brandt λ⁰-extensions of semigroups with zero, Мат. методи та фіз.-мех поля, 49:3 (2006), 26-40.
29. N.Hindman, D.Strauss, Ye.Zelenyuk, Large rectangular semigroups in Stone-Cech compactifications, Trans. Amer. Math. Soc., 355:7 (2003), 2795-2812.
30. I.Protasov, E.Zelenyuk, Topologies on Groups Determined by Sequences. ‑ Lviv, VNTL Publishers. – 1999. – 112 p.
31. N.M.Pyrch, O.V.Ravsky, On free paratopological groups, Matematychni Studii, 25:2 (2006), 115-125.
32. O.V.Ravsky, On H-closed paratopologіcal groups, Вісник Львівського університету, серія механіко-математична, 61 (2003), 172-179.
33. Ye.Zelenyuk, On partitions of groups into dense subsets, Topology Appl., 126:1-2 (2002), 327‑339.
34. Ye.Zelenyuk, Weak projectives of finite semigroups, J. Algebra, 266:1, 77-86
35. O. Gutik, and D. Repovš, On 0-simple countably compact topological inverse semigroups, Semigroup Forum, 75:2 (2007), 464-469.
36. O.Gutik, K. Pavlyk, and A. Reiter, Topological semigroups of matrix units and countably compact Brandt λ⁰-extensions, Mat. Stud., 32:2 (2009), 115-131.
37. O.Gutik, and D.Repovš, On Brandt λ⁰-extensions of monoids with zero, Semigroup Forum, 80:1 (2010), 8-32.